Math-Magics魔數～藝數童心圓趣味數學教學設計分享
本文介紹筆者以正五邊形和正十二面體為主角，所串接設計的創意教學與心得分享。
【教學目的】a. 增進立體概念與空間思維。
b. 體驗動手操作與團隊合作的學習模式。
c. 啟發生活創造的智能。
d. 培養數學欣賞的美感。
【教學內容】a. 認識並操作正五邊形摺紙。
b. 察覺並欣賞生活中的正五邊形與正十二面體的造型設計。
c. 觀察並探討正十二面體的點、線、面的結構與數量。
d. 藝數Fun手玩～〈藝數童心圓〉DIY及進階配色挑戰。
【教學對象】國小中高年級以上（含國高中）的數學營或教師研習。
【單元時間】90分鐘（約兩節課實施分組操作）。
【操作教材】a.「許願星」摺紙條。
b. 正五邊形幾何組裝教具（2人一套共12片）
c.〈藝數童心圓〉DIY及其泡棉膠（每人一份）。
d. 正十二面體造型的玩具。
【教學流程】
0. 課前準備：製作教學ppt.檔、準備教材與蒐集正十二面體玩具。
1. 引起動機：一筆劃五角星與摺星星。（操作時間共約15分鐘）
說明：1.五角星 ~ 請學生拿出紙筆，畫出講義上正五邊形圖案的5條對角線，但要求要一筆劃完成。完成之後，再從內部更小的正五邊形再畫一次。
備註：部分學生很快就能察覺「一筆劃完成正五邊形的5條對角線」原來就是「畫星星」。甚至還能區別出順逆時針方向的差異，以及正反五角星的顛倒變化規律（圖一左），因此在欣賞ppt.檔的延伸變化圖像時（圖一中、右），多會驚嘆連連。
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| （圖一）一筆劃五角星及其延伸變化圖。 |
說明：2.摺星星 ~ 練習將長紙條打出一個正五邊形的紙結，並收摺剩餘的長紙條。
探索：引導學生透過正五邊形的內角、外角與對角線切割，以及摺紙操作前後，紙張的翻轉對稱關係，觀察並思考為什麼一張長紙條不需剪刀修剪，也不需膠水黏貼，便可收摺成一個正五邊形？
備註：詳細的摺紙操作與數學原理解說，敬請參閱拙文〈藝數家玩摺紙生活篇二部曲~五角星形的許願星〉。摺紙解說示範時，可連結遠哲科學教育基金會官網的圖文資料呈現http://www.ytlee.org.tw/。
2. 「藝數」欣賞：欣賞生活中的正五邊形與正十二面體的造型設計。（Q & A約20分鐘）
說明：1.正五邊形 ~ 從美國的五角大廈、新店國小建校100週年的紀念碑（圖二左）、輪胎鋼圈、招牌、圍牆鏤雕等圖片，引領學生察覺生活中的正五邊形設計，最後思辯消防栓上「五角柱開關」（圖二右下）的設計緣由。
提問：消防栓上的五角柱開關設計，是為了方便打開或不方便打開？
回答：認定方便打開者，多以為失火時就要趕快滅火，所以要方便開，還可免除消防車路上塞車，延誤救火的困擾。偶有學生會天真的回答「因為五根手指頭剛剛好放在五個邊上」。認定不方便打開者，偶會提出正確的比較：因為正五邊形沒有平行的邊，而普通的板手工具都具有開啟四角柱或六角柱（螺絲、螺帽）的平行邊設計。
備註：消防栓上五角柱的開關設計可見於台灣消防單位的採購要求，其鑰匙（圖二中）為特殊的凹槽設計（圖二右上），筆者曾見百科全書提到英國的消防栓開關是「類三角柱」的設計，也是為了不方便打開，以免民眾恣意開啟澆花、洗車、灑水，等真正失火時反而沒水滅火。但在台灣郊區所見的消防栓開關則為四角柱的設計，想是早期手機不發達的年代，為避免山區失火造成通報太晚，特做此一權宜設計吧！
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| （圖二）正五邊形的生活設計。 |
說明：2.正十二面體 ~ 從素描石膏、骰子、魔術方塊、存錢筒、小皮球、花燈等實體模型或玩具（圖三），到達文西的展開圖與預留邊設計（明信片圖稿）、帕西歐里的〈師徒〉、愛薛爾的〈爬蟲〉、達利的〈最後晚餐〉等畫作，以及2000年雪梨奧運閉幕晚會的〈地球儀〉、美術燈等生活應用，引領學生察覺生活中的正十二面體設計。
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| （圖三）正十二面體造型的玩具設計。 |
3. 建構正十二面體：組裝正十二面體的結構。（操作約15分鐘）
說明：兩人一組，引導學生認識正五邊形百利智慧片的凹凸結構之後，看圖組裝出一個正十二面體。然後要求學生確認正十二面體的頂點數（20）、稜邊數（30）與面數（12）。
備註：剛開始，學生多是數數看找答案。經過一題多解的要求之後，部分學生可將正十二面體結構化，例如：「北半球」與「南半球」各有5個點、10個邊、6個面；「赤道」有10個點、10個邊。
4.〈藝數童心圓〉DIY叮嚀與挑戰：（操作約30分鐘）
說明：〈藝數童心圓〉DIY設計是利用12個圓內接正五邊形為零件（呼應第2階段輪胎鋼圈的五等分結構），不需處理正十二面體的展開圖，便可直接以泡棉雙面膠，在正五邊形外接圓的弓形部位，兩兩零件黏貼，完成正十二面體的結構（呼應第3階段的組裝過程）。在解說美勞細節與注意事項之後，更近一步要求學生挑戰12個面的配色問題：如何搭配每色2片的圓內接正五邊形位置，可使完成的正十二面體，處處都能看到6種顏色（圖四），不會同時看到同色的零件。由於學生DIY的速度差異頗大，先完成的學生可再引導從DIY的過程中，察覺出計算正十二面體的頂點V與稜邊E數量的高級方法：V＝（12×5）÷3、E＝（12×5）÷2。
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| （圖四）〈藝數童心圓〉DIY設計概念與進階配色成品。 |
備註：學生剛聽到配色要求時，多以為很複雜，但只需傳達南北半球的結構對照，以及可旋轉改變的南北極相對位置，學生多可迎刃而解。偶有學生會想先做好兩個配色相同的半球再組裝，此時需提醒南北半球順逆時針方向的差異。百利智慧片教具的顏色僅4色，無法操作上述配色，目前市面上所見有兩款教具顏色多達6色可用。
5. 〈故宮象牙球〉動畫簡介：（解說欣賞約5分鐘）
介紹遠哲基金會「動手玩科學」部落格內拙文〈精彩一百‧國寶總動員〉（2012.01）的圖文資料http://ytsorg.blogspot.com/2012/01/math-magics.html，同時上網欣賞故宮象牙球的動畫影片，以為本課程設計達畫龍點睛之效。
【相關閱讀】
遠哲科學教育基金會《發現》月刊/「動手玩科學」部落格：
（1）第90期：Math-Magics魔數 ~〈童心圓迎新春〉（2004.02）。
（2）第91期：Math-Magics魔數 ~〈童心圓賀新春〉（2004.03）。
文．國立台灣師大附中數學科教師 彭良禎
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