「Math-Magics魔數」正方形的創意教學分享




圖一、從AA+的創意教學成果。

一、   源起
暑假末,筆者參加為期一天的「2013第一屆創新數學教學研討會」,會中特別邀請到來自馬來西亞的創意大師現身說法,張寶幼老師在其〈讓數學變有趣的創意教學〉的專題演講與〈透過悅趣活動發展數學解題能力〉的工作坊中,陸續透過魔術、趣題、操作、歷史、遊戲等面向,深入淺出地示範了多種新奇的創意教學案例。今彙整張老師分享的一個與莫比爾斯環連結的創意操作,以及「遠哲數學發現之旅」早期開發的正方形創意剪紙課程,串接分享於下。

二、   教學單元
中小學教師可搭配以下數學能力指標,改良並豐富本操作設計。
(一)國小:5-s-04能認識線對稱與簡單平面圖形的線對稱性質。
(二)國中:8-s-06能理解線對稱的意義,以及能應用到理解平面圖形的幾何性質。

三、   教學操作
(一)課程時間:約一節課。
(二)操作器材:A4回收紙或廣告傳單(每人數張)、透明膠帶(窄)、剪刀。
(三)教學流程:
1.摺、說正方形:(操作、分享約10分鐘)
1)利用一張A4長方形摺出一個正方形,並切除多餘的紙張。
【註】除了利用剪刀或美工刀,學生更習慣使用直尺裁切。每當筆者示範不需藉助任何工具,只以指甲反覆處理摺痕,便可輕鬆撕出正方形的動作時,不少學生的眼睛會發亮。
2)引導學生解說在上述的摺紙過程中,應用到哪些正方形的數學知識。
【答】a.正方形的對角線會將正方形分割成2個等腰直角三角形。
b.正方形是長=寬的長方形。

2.對稱猜想:(操作、討論約20分鐘)
1)依對稱軸將正方形折疊成原來的1/4的小正方形(如圖二)。
 


  
圖二、摺疊成1/4的正方形。


2)選取小正方形紙疊的一角,剪除一個大比例的正方形,留下「L」形紙疊(如圖三)。
【註】小正方形紙疊有四個角,學生可隨意選取,或小組分工比對。為便於後續的紙環操作,此處剪除的正方形比例不宜太小。
 




圖三、小正方形紙疊剪去一角的四種可能。


3)猜想、討論展開「L」形紙疊後可能會是什麼形狀?
【答】圖三從左至右依序變成「口」、「工」、「H」與「十」字型,其中「工」與「H」字型會是同一個圖形。(如圖四
 


  
圖四、「L」形紙疊展開後的三種造型。


3.創意你我他:(操作、實驗約15分鐘)
1)利用膠帶將圖三所得的「十」字型紙張的上下兩端向前相接、左右兩邊向後相接,變成兩個前後相接的紙環(如圖五),再以剪刀分別從兩個紙環的中線剪開。
【註】該中線即為圖二中,大正方形的兩條對稱軸的摺線位置。其剪開結果恰為圖三中的「口」字型。動剪刀前,可先小組討論、推測紙環剪開後的形狀。


圖五、將「十」字型紙張黏接成兩個前後相連的紙環結購。


2)另取一個「十」字型紙張,仿照圖五的雙環結構黏接,但須將圓柱紙環改為旋轉半圈的莫比爾斯環,且前後兩個莫比爾斯環的轉向要相反,最後再以剪刀分別剪開兩個莫比爾斯環的中線。

剪開的結果,即是研討會當天,讓筆者最感驚奇的兩個互相嵌扣的愛心紙圈(如圖一)。在強烈好奇心的驅使之下,筆者會後一回到家,便從信箱翻出一推廣告傳單,帶著女兒嘗試轉一圈、轉同向、剪1/3線等各式莫比爾斯環的延伸變化,其結果雖都不如第一次看到雙心紙環時來得震撼,但仍讓兩個女兒驚喜連連,茲簡要整理如下表。

雙環結構
剪開結果
雙環向,各轉圈、剪1/2
2個互相嵌扣的愛心紙圈
雙環向,各轉圈、剪1/3
3個紙圈:2個互相嵌扣的愛心紙圈,其中有寬窄邊的紙圈上,附掛1個小莫比爾斯環
雙環向,各轉圈、剪1/2
1個自身纏繞、結構稍簡單的大紙圈。
雙環向,各轉圈、剪1/2
2個分開的紙圈:1個轉0圈、1個轉2圈。
雙環向,各轉圈、剪1/3
3個紙圈:1個小莫比爾斯環附掛在一個有寬窄邊,且轉2圈的紙圈上,與另1個轉0圈的紙圈分開
雙環向,各轉圈、剪1/2
1個自身纏繞、結構複雜的大紙圈。

【註】若讀者也有興趣多試幾種變化條件,可跳過本教案一開始的正方形摺紙操作,直接從長方形摺剪出「L」型紙疊切入,效果不變。
四、   後記
Be Creative & Teach with Love. We Shall Benefit More Students.

研討會上午,張老師原是在創意就是與不相干的事物做聯繫」的子題之下,分享如何將兩個圓柱形紙環,黏剪成意外的正方形框,最後再以毛毛蟲蛻變成蝴蝶的比喻,帶出更上一層樓的雙心紙圈,同時以上述的期勉話語,替專題演講畫上完美的句點。

本教案設計之前導活動(「對稱猜想」與「創意你我他(1」),原為五常國中王明珠老師在「遠哲數學發現之旅」的營隊活動中,所研發推出的課程。今用以鋪陳張老師創意教學的數學脈絡,並以創意雙心來畫龍點睛。當筆者於休息時間與張老師分享王老師「對稱猜想」的教學設計時,張老師也如獲至寶,特別致贈其研發推廣的數學魔術書《Amazing Maths---Card Tricks》(如圖六)。教學相長,期待你我時時刻刻為台灣的數學教育加油成長。


圖六、筆者手持贈書與張老師合影。


五、   相關閱讀
(一)報導資訊:Impossible=I'm possible张宝幼换框人生,馬來西亞東方新聞2012.9http://www.orientaldaily.com.my/index.php?option=com_k2&view=item&id=24940:impossible-i-m-possible&Itemid=241
(二)遠哲科學教育基金會《發現》月刊《Math-Magics魔數》專欄:
1)第100期〈艾薛爾的藝數新視界五部曲~莫比爾斯環〉(2004.12)。
2)第152期〈藝數家玩摺紙基礎篇二部曲~正方形摺紙〉(2009.4)。



文.國立台灣師大附中數學科教師 彭良禎

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張一寫道…
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