【Math-Magics魔數】藝數ing趣味數學教學設計分享


本文介紹筆者以正三角形和正二十面體為主角,所串接設計的創意教學與心得分享。


【教學目的】a. 增進立體概念與空間思維。
b. 體驗動手操作與團隊合作的學習模式。
c. 啟發生活創造的智能。
d. 培養數學欣賞的美感。

【教學內容】a. 認識並操作以正三角形為側面結構的正n角錐。
b. 組裝並推算正二十面體的點、線、面數量。
c. 察覺並探討生活中的正二十面體設計及其截角變化(足球)。
d. 藝數Fun手玩~〈藝數ingDIY及其進階配色挑戰。

教學對象國小中高年級以上(含國中、高中)的數學營或教師研習。

【單元時間】90分鐘(約兩節課實施分組操作,每組2人、4人或6人皆可)。

【操作教材】a. 三角形幾何組裝教具(至少2人一套20片,若能1人一套最佳)。
b.〈藝數ingDIY(每人一份)。
c. 正二十面體造型的吊飾、玩具、足球等。
【教學流程】
0. 課前準備:製作教學ppt.檔、準備教材與蒐集足球、正二十面體造型等玩具。

1. 角錐操作:(討論、修正約15分鐘)
1每人各自利用6根等長的吸管,試拼組出4個正三角形。吸管不能伸縮、折彎或剖半

提示:3D立體的結構。

解答:正三角錐(即正四面體),本題另有2D平面的答案,相關引導與分享請參見文末相關閱讀1~d

插曲:本題原為「移動火柴棒」的題型,但這個世代的學生幾乎未曾看過或碰過火柴,故筆者將情境敘述轉換成吸管,以便教師教學時大量準備。若欲改為學生鉛筆盒裡隨手可得的6支鉛筆或原子筆亦可,但在操作時,會有部分學生受限於視覺圖像,無法妥善將「不等長」的鉛筆或原子筆視為等長來處理。

2每人利用4片正三角形幾何教具,「想辦法」組裝出一個埃及金字塔

解答:無正方形底面的非封閉正四角錐。此結構拿在手上雖不定型,但放在桌上時,卻可得「唯一正解」。

教學:本題為陷阱題。在動手操作時,絕大多數的學生會隨手拼組出上一題的3D解答放桌上,此為4個正三角形所組裝的唯一封閉立體。少數敏感度強的學生會立即反應缺少正方形,當強調要「想辦法」達成任務時,此類學生多半能迅速調整出正確答案。至於一開始就因失查而掉入陷阱的同學,通常都需要明確開釋:「金字塔是幾角錐?」此時學生才會恍然大悟:原來金字塔是四角錐。不過還是會有少數學生分不清楚金字塔到底是三角錐?還是四角錐?

3提問:除了正三角錐與正四角錐,利用正三角形(數量不拘)還可拼出哪些角錐?

解答:只能再拼組正五角錐(圖一)。

續問:為什麼沒辦法拼出正六角錐或正七角錐?

教學:若以六個正三角形來組裝「正六角錐」的側面,則此時角錐的高度為0,因為六個正三角形匯集於角錐頂點的度數之和剛好等於360°,所以六個正三角形側面恰好組成一個平面上的正六邊形,而非空間中的正六角錐。至於七個以上的正三角形側面匯集於角錐的頂點時,由於其度數之和會大於360°,故無法組成「凸n角錐」的側面。

(圖一)以正三角形為側面所組裝的三角錐、四角錐、五角錐正投影圖與正六邊形。


2. 正二十面體組裝:(組裝、觀察、推算約25分鐘)
1利用數量充足的正三角形,組裝出「每個頂點皆匯聚有五個正三角形的立體」,即每個頂點皆對應到一個正五角錐的立體。

解答:正二十面體。

教學:a.本題最常見的錯誤答案,是將兩個正五角錐上下顛倒組合而成的「雙錐10面體」。此時可引導學生發現錯誤之所在:在「南極」與「北極」的頂點有符合五個三角形的組裝條件,但在「赤道」上的頂點皆只匯聚了四個三角形。

b. 本題另一常見的錯誤操作,是先將零件組成數個無底的正五角錐,然後再陸續將這些五角錐合體。在此過程中,學生不易察覺發生六個正三角形共點的凹凸現象。

c. 偶有學生一開始就已經知道最終答案是正二十面體,因而很專業地欲從正二十面體的展開圖開始拼組,如此較費時費工且正誤難判。本題最單純的操作手法,就是直接從一個五角錐開始,依題目規範的條件來邊看邊組。

提醒:若教師準備的是實心的三角形教具(圖二),則學生在組裝最後一片零件時,容易因力道拿捏不當而將整個正二十面體壓毀。由於缺少一面的鏤空結構並不會影響正二十面體點、線、面的數量探討,且為避免學生操之過急而功虧一簣,建議在一開始便可提醒學生:最後一片正三角形可不組裝。(通常速度快的學生還是會想挑戰完成封閉的正二十面體)

(圖二)實心與空心的正三角形操作教具。


2提問:完成的立體看得到幾個五角錐有幾個頂點?怎麼稱呼有幾個面?有幾個稜邊?

解答:12個五角錐(對應到12個頂點)、二十面體、30個稜邊。

續問:除了數數看的方法,請根據該立體的結構,推算出上述點、線、面的數量。

教學:此時學生多能將正二十面體分解為「南、北半球」與「赤道」,分別找出各有660個點;101020個邊、5510個面。另可引導學生從三角形教具的組裝過程,察覺或解說正二十面體的頂點數V與稜邊數E的計算如下:
V 20×3/5,因為20個三角形分開時有20×3個點,組裝時五五匯集。
E 20×3/2,因為20個三角形分開時有20×3個邊,組裝時兩兩重合。

3.〈藝數ingDIY叮嚀與挑戰:(黏貼、配色約25分鐘)
組裝:〈藝數ingDIY設計是以20個圓內接正三角形為零件,略過正二十面體的展開圖探討,直接利用正三角形外接圓的弓形部位,以雙面膠將零件兩兩黏貼,即可組裝完成正二十面體。(呼應前述教具組裝的過程,此概念亦出現在國小美勞課的教學)

挑戰:a. 配色:組裝時,需同步觀察、搭配5種顏色、每色4片的正三角形位置,使得完成的正二十面體的每個頂點都能看到5種顏色的五角錐。

        b. 卡榫:若將所有的弓形都內摺,且統一依順時針或逆時針方向裁割正三角形三邊至中點,則在組裝時,不需使用雙面膠,便可卡組咬合出正二十面體。

提醒:由於正三角形外接圓上弓形會有外翻與內摺的差異,故完成的立體造型會有如模型或繡球等不同的視覺效果(圖三)。至於卡榫組裝的操作,因半成品結構鬆散,故須花較多的時間拼組,且成型後仍易受外力而變形。

 (圖三)〈藝數ingDIY組裝變化。


教學:學生剛聽到配色要求時,多以為很複雜,但只需先任意組裝出一個五彩的五角錐,再進一步分析下一片同色三角形的可能位置,當統一選定順時針或逆時針方向排列出五彩星的配色(圖四左)之後,剩下零件的色彩位置只須邊看邊黏即可順利完成。


 (圖四)正二十面體進階配色過程與立體視圖。


4.足球探源:每組提供一顆足球造型的小皮球,讓學生找出推算足球上「正五邊形」與「正六邊形」個數的策略,並引導比較「足球」與正二十面體點、面數量的對應關係。(討論、分享時間約10分鐘)

解答:足球上的「正五邊形」有12個、「正六邊形」有20

教學:a. 除了一對一的數數方法,學生還可利用對稱性,將足球拆解成南、北半球,藉以簡化數數的歷程,得出五邊形在南北半球各有6個;六邊形在南北半球各有5個、赤道有10個。

b. 由截角變化知足球上的五邊形與六邊形數量分別對應到正二十面體的12個頂點與20個面。

c. 若學生的程度夠,還可進階引導學生觀察五邊形與六邊形的數量對應關係每個五邊形週圍都是六邊形、每個六邊形週圍有3個五邊形相間隔推算:
若已知五邊形有12個,則可推算六邊形有(5×12/320個;
若已知六邊形有20個,則可推算五邊形有(3×20/520個。

5.「藝數」欣賞:分享存在於生活中的正二十面體與足球的造型設計。(約10分鐘)
說明:觀賞素描石膏模型、骰子、魔術方塊、美術燈、籐球、節慶吊飾、足球等實體玩具或模型,以及其他相關造型的公共藝術設計(圖五)。

 (圖五)台中科博館(正二十面體)與彰化(足球蓮花)公共藝術設計。


【相關閱讀】
遠哲科學教育基金會《發現》月刊/「動手玩科學」部落格:
1)《Math-Magics魔數》
     a.〈腳上乾坤〉(2002.06)。
     b.〈腳下乾坤〉(2002.07)。
     c.〈藝數童心圓趣味數學教學設計分享〉(2012.03)。
     d.〈藝數金粽子~正四面體4分割創意教學分享〉(2012.09)。

2)《藝數家玩摺紙》
     a.組合篇四部曲〈Δ(Delta)立體〉(2010.07)。
     b.組合篇五部曲〈Δ(Delta)星體〉(2010.09)。



文.國立台灣師大附中數學科教師 彭良禎


留言

熱門文章