【Math-Magics魔數】藝數金粽子~正四面體4分割創意教學分享

巧克力粽子


在今年(2012)暑假的遠哲科學營/數學營活動中,筆者主打〈藝數金粽〉的DIY操作,此一設計的前身為國科會2004科學週「形」活動的〈粽櫚海灘〉DIY,原課程設計請參閱《發現》月刊第106期魔數專欄〈包粽.包中〉,今另行串接設計分享於下。
【教學目的】1. 增進立體概念及空間思維
2. 培養動手操作與合作學習的習慣。

【教學內容】1. 認識正四面體
2. 分割三角形並分析策略與歸納結論。
3. 理解正四面體的簡單分割
4. Fun手玩 ~藝數金粽〉DIY體驗。
教學對象國小中年級以上,分組上課,每組56人。
【教學時間】90分鐘(約兩節課)。
【操作器材】藝數金粽〉DIY
【教學流程】
0. 課前準備:製作教學ppt.檔、準備相關操作教具。
1. 建構4個正三角形:(課程運作約15分鐘)
腦筋急轉彎:6根等長的線段已先擺出如下左圖或右圖的兩個正三角形。只移動一根線段,要變出4個正三角形。

(圖一)腦筋急轉彎~左或右分別變出4個正三角形。


提示:a.移動紅色線段。
b.左圖到阿拉伯/印度找答案;右圖到羅馬找答案。
說明:左圖的腦筋急轉彎曾在網路電子信箱流傳一時,令人噴飯的答案是4;右圖的腦筋急轉彎則是前年筆者在義學國中七年級數資班上課時,一位學生因未帶講義也未帶鉛筆盒來上課,操作時只好透過對面同學利用原子筆擺好的圖形思考,也因此意外衍生出這題IV的腦筋急轉彎。當學生意會出是羅馬數字時,因為「學校不教、考試不考」,所以只有少數學生清楚地知道答案,多數學生則無法確定答案是IV還是VI,當然,完全不識羅馬數字的學生也不在少數。

數學思考:6根等長的線段通通可以動,但每一線段不折斷、不彎曲、不剖半、不伸縮,要真的擺出4個正三角形。(答案不只一個)

提示:3D立體。
說明1絕大多數的學生習慣以平面思維操作此題,不論有無使用吸管或原子筆操作,常見的錯誤答案皆如下左圖,經提醒與辨認長度、角度、數量的問題之後,再「將錯就錯」引導從下中圖的菱形擺放最後一根線段,便有機會得出平面的4個正三角形(如下右下圖),或摺出立體的4個正三角形(如下右上圖,即正四面體)。又當明確給出立體提示時,不少學生即可以秒殺出正三角錐,但也有學生手忙腳亂地拼組「金字塔」。

(圖二)經典的錯誤答案與修正後的正確答案。


說明2偶有學生會得出如下左圖或右圖的「技術犯規」的答案~兩圖的線段都有多餘的部分與正三角形的結構全然無關,此與「等長的線段」條件有衝突。但由於題目一開始並未明確限定此一規範,故仍先肯定學生優異的「圖感」,再藉此說明相關的要求。

(圖三)偶有學生會提出的4個正三角形。


2. n等分正三角形:(課程運作約25分鐘)
數學思考:將一個正三角形披薩等分成n個一樣大的區塊。(答案種類多多益善)

說明1經由上一題的練習或舉例說明,已不見無所適從的學生,但要將講義上812個空白的三角形通通分割完畢,還需要好一番的努力。本題先要求學生自行思考、繪圖,經數分鐘後,才鼓勵同組夥伴互相觀摩、學習。其中n1也算是符合題意的一個答案,但「認真」的學生多半會從n2開始。n3的經典分割如下左圖,偶見中圖的3等分,至於右圖的分割幾乎未見,不過在最後歸納結論時,都會有學生跳脫出靜態定格的習慣,察覺出「旋轉」的動態特徵。至於像最右圖將正三角形「面積3等分」的答案也是所在多有,甚至會有學生抓此「偷懶」規則依此類推到所有「n等分正三角形」,筆者發覺時便先給予口頭肯定,然後鼓勵挑戰更富創意的分割。

(圖四)3等分正三角形的豐富答案。


說明2n4的標準分割如下左上圖,其他如中上圖與右上圖的面積分割也屬常見。至於藉由經典分割而不斷地以「九九乘法」衍生而出n4×2n4×3n4×4的各類答案也是此起彼落,但通常需要刻意串接引導,學生才能察覺箇中奧妙。

(圖五)4等分正三角形及其衍生答案。

  

說明3除了上述基本但零散的分割答案之外,學生最易自行綜合歸納出的分割類型為如下左圖的「n2等分」。為避免學生只是埋頭拼命畫複雜的分割線,卻全然不負責任到底是幾等分,筆者便會順帶要求學生要把切割的總數寫在圖形旁。想當然耳,當切割層次越多,學生數錯或因胡亂分割而數不清的機率也就越高。課程總結便是從圖像引導學生層層分析,觀察、歸納出如下的計算規律:
n21357+(2n1~ 連續奇數和;
123n321 ~ 遞增與遞減的連續正整數和。
活動中,總有不少學生會用「梯形公式」處理連續奇數和的等差級數計算,筆者通常不在此「超齡學習」之處著墨,而是引導學生觀察、體認古希臘畢氏學派如下中圖與右圖結構的數學發現。

(圖六)n2分割正三角形的類型與計算規律。


3. 組裝正四面體2等分與4等分:(課程運作約30分鐘)
數學思考:利用兩張圖七左的展開圖,黏貼製作完成兩個圖七右的立體零件,然後挑戰拼組成一個正四面體。

提示:1將正方形藏起來、2旋轉、3轉慢一點。

(圖七)不對稱2等分正四面體的分割零件及其展開圖。 


說明:本題的操精神是不偷看、不分享,必要時可給予充分的提示。待學生都恍然大悟時,近一步引導說明每個人雙手對稱操作的干擾習慣。最後分享粽子上綁繩之處與本題的巧妙對應結構。

數學思考:利用圖八左的展開圖(各2張),黏貼製作完成4圖八右的立體零件,然後挑戰拼組成一個正四面體。
提示:1兩兩拼組出正三角形、2將正三角形露出來。


(圖八)對稱「4等分」正四面體的分割零件及其展開圖。 


說明:本題對照於上一題的不對稱切割,是對稱切割的進階「4等分」,但零件不全等,只是學生通常不會察覺,所以需提醒學生勿將零件與他人混合,以免造成無解。學生很容易理解正四面體對稱2等分,但在組裝此一「4等分」時,卻又習慣將最後的正三角形藏起來。學生初次挑戰成功時,建議重新洗牌後再試一兩次,以確定是完全掌握結構而非運氣好。最後再視學生程度引導認識直角錐、斜角錐的差異,以及展開圖上1、√2、√3、√4等數據的變化。

【相關閱讀】
遠哲科學教育基金會《發現》月刊Math-Magics魔數/藝數家玩摺紙專欄:
1)第175:組合篇八部曲〈正四面體網膜〉(20011.03)。
2)第173:組合篇七部曲〈正四面體骨架與「裝潢」〉(20011.01)。
3)第148:〈藝數方塊趣味數學教學設計分享〉(2008.12)。
4)第106:〈包粽.包中〉(2005.06)。
5)第96:〈看!多面體在說話〉(2004.08)。
6)第88:〈中研院trytry〉(2003.12)。



文.國立台灣師大附中數學科教師 彭良禎








留言

jennie cheng寫道…
我來逛逛囉~ 希望您有空的時候,可以來我家欣賞多面體摺紙之美~

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