【Math-Magics魔數】藝數金粽子~正四面體4分割創意教學分享

巧克力粽子

在今年（2012）暑假的遠哲科學營/數學營活動中，筆者主打〈藝數金粽〉的DIY操作，此一設計的前身為國科會2004科學週「形」活動的〈粽櫚海灘〉DIY，原課程設計請參閱《發現》月刊第106期魔數專欄〈包粽．包中〉，今另行串接設計分享於下。

【教學目的】1. 增進立體概念及空間思維。

2. 培養動手操作與合作學習的習慣。

【教學內容】1. 認識正四面體。

2. 分割正三角形並分析策略與歸納結論。

3. 理解正四面體的簡單分割。

4. Fun手玩 ~〈藝數金粽〉DIY體驗。

【教學對象】國小中年級以上，分組上課，每組5至6人。

【教學時間】90分鐘（約兩節課）。

【操作器材】〈藝數金粽〉DIY。

【教學流程】

0. 課前準備：製作教學ppt.檔、準備相關操作教具。

1. 建構4個正三角形：（課程運作約15分鐘）

腦筋急轉彎：6根等長的線段已先擺出如下左圖或右圖的兩個正三角形。只移動一根線段，要變出4個正三角形。

（圖一）腦筋急轉彎~左或右分別變出4個正三角形。

提示：a.移動紅色線段。

b.左圖到阿拉伯/印度找答案；右圖到羅馬找答案。

說明：左圖的腦筋急轉彎曾在網路電子信箱流傳一時，令人噴飯的答案是「4△」；右圖的腦筋急轉彎則是前年筆者在義學國中七年級數資班上課時，一位學生因未帶講義也未帶鉛筆盒來上課，操作時只好透過對面同學利用原子筆擺好的圖形思考，也因此意外衍生出這題「IV▽」的腦筋急轉彎。當學生意會出是羅馬數字時，因為「學校不教、考試不考」，所以只有少數學生清楚地知道答案，多數學生則無法確定答案是「IV▽」還是「VI▽」，當然，完全不識羅馬數字的學生也不在少數。

數學思考：6根等長的線段通通可以動，但每一線段不折斷、不彎曲、不剖半、不伸縮，要真的擺出4個正三角形。（答案不只一個）

提示：3D立體。

說明1：絕大多數的學生習慣以平面思維操作此題，不論有無使用吸管或原子筆操作，常見的錯誤答案皆如下左圖，經提醒與辨認長度、角度、數量的問題之後，再「將錯就錯」引導從下中圖的菱形擺放最後一根線段，便有機會得出平面的4個正三角形（如下右下圖），或摺出立體的4個正三角形（如下右上圖，即正四面體）。又當明確給出立體提示時，不少學生即可以秒殺出正三角錐，但也有學生手忙腳亂地拼組「金字塔」。

（圖二）經典的錯誤答案與修正後的正確答案。

說明2：偶有學生會得出如下左圖或右圖的「技術犯規」的答案~兩圖的線段都有多餘的部分與正三角形的結構全然無關，此與「等長的線段」條件有衝突。但由於題目一開始並未明確限定此一規範，故仍先肯定學生優異的「圖感」，再藉此說明相關的要求。

（圖三）偶有學生會提出的4個正三角形。

2. n等分正三角形：（課程運作約25分鐘）

數學思考：將一個正三角形披薩等分成n個一樣大的區塊。（答案種類多多益善）

說明1：經由上一題的練習或舉例說明，已不見無所適從的學生，但要將講義上8至12個空白的三角形通通分割完畢，還需要好一番的努力。本題先要求學生自行思考、繪圖，經數分鐘後，才鼓勵同組夥伴互相觀摩、學習。其中n＝1也算是符合題意的一個答案，但「認真」的學生多半會從n＝2開始。n＝3的經典分割如下左圖，偶見中圖的3等分，至於右圖的分割幾乎未見，不過在最後歸納結論時，都會有學生跳脫出靜態定格的習慣，察覺出「旋轉」的動態特徵。至於像最右圖將正三角形「面積3等分」的答案也是所在多有，甚至會有學生抓此「偷懶」規則依此類推到所有「n等分正三角形」，筆者發覺時便先給予口頭肯定，然後鼓勵挑戰更富創意的分割。

（圖四）3等分正三角形的豐富答案。

說明2：n＝4的標準分割如下左上圖，其他如中上圖與右上圖的面積分割也屬常見。至於藉由經典分割而不斷地以「九九乘法」衍生而出n＝4×2、n＝4×3、n＝4×4的各類答案也是此起彼落，但通常需要刻意串接引導，學生才能察覺箇中奧妙。

（圖五）4等分正三角形及其衍生答案。

  

說明3：除了上述基本但零散的分割答案之外，學生最易自行綜合歸納出的分割類型為如下左圖的「n²等分」。為避免學生只是埋頭拼命畫複雜的分割線，卻全然不負責任到底是幾等分，筆者便會順帶要求學生要把切割的總數寫在圖形旁。想當然耳，當切割層次越多，學生數錯或因胡亂分割而數不清的機率也就越高。課程總結便是從圖像引導學生層層分析，觀察、歸納出如下的計算規律：

n²＝1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）~ 連續奇數和；

＝1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1 ~ 遞增與遞減的連續正整數和。

活動中，總有不少學生會用「梯形公式」處理連續奇數和的等差級數計算，筆者通常不在此「超齡學習」之處著墨，而是引導學生觀察、體認古希臘畢氏學派如下中圖與右圖結構的數學發現。

（圖六）n²分割正三角形的類型與計算規律。

3. 組裝正四面體2等分與4等分：（課程運作約30分鐘）

數學思考：利用兩張圖七左的展開圖，黏貼製作完成兩個圖七右的立體零件，然後挑戰拼組成一個正四面體。

提示：1將正方形藏起來、2旋轉、3轉慢一點。

（圖七）不對稱2等分正四面體的分割零件及其展開圖。 

說明：本題的操精神是不偷看、不分享，必要時可給予充分的提示。待學生都恍然大悟時，近一步引導說明每個人雙手對稱操作的干擾習慣。最後分享粽子上綁繩之處與本題的巧妙對應結構。

數學思考：利用圖八左的展開圖（各2張），黏貼製作完成4個圖八右的立體零件，然後挑戰拼組成一個正四面體。

提示：1兩兩拼組出正三角形、2將正三角形露出來。

（圖八）對稱「4等分」正四面體的分割零件及其展開圖。 

說明：本題對照於上一題的不對稱切割，是對稱切割的進階「4等分」，但零件不全等，只是學生通常不會察覺，所以需提醒學生勿將零件與他人混合，以免造成無解。學生很容易理解正四面體對稱2等分，但在組裝此一「4等分」時，卻又習慣將最後的正三角形藏起來。學生初次挑戰成功時，建議重新洗牌後再試一兩次，以確定是完全掌握結構而非運氣好。最後再視學生程度引導認識直角錐、斜角錐的差異，以及展開圖上√1、√2、√3、√4等數據的變化。

【相關閱讀】

遠哲科學教育基金會《發現》月刊Math-Magics魔數/藝數家玩摺紙專欄：

（1）第175期：組合篇八部曲〈正四面體網膜〉（20011.03）。

（2）第173期：組合篇七部曲〈正四面體骨架與「裝潢」〉（20011.01）。

（3）第148期：〈藝數方塊趣味數學教學設計分享〉（2008.12）。

（4）第106期：〈包粽．包中〉（2005.06）。

（5）第96期：〈看!多面體在說話〉（2004.08）。

（6）第88期：〈中研院try一try〉（2003.12）。

文．國立台灣師大附中數學科教師 彭良禎