魔數Math-Magics~「三巧板」之教學相長
每年寒暑假，遠哲科學教育基金會北（台北）、中（彰化）、南（高雄）三處辦公室都會舉辦學生科學營活動，筆者除了長期協助北區的課程規劃，近幾年也都會固定支援中區冬夏令營的數學課程設計。由於彰化遠哲低、中、高年級都有開課，因此有很多學生每年都會回流參加，甚至是兄弟姐妹一起參加，故而所有科學與數學的課程都要每年更換，或說是每位講師都至少要有12種不同的教案設計，依低、中、高年級的差異，以每4種課程為一個週期，或每12種課程為一個週期更換菜色，才足以應付這些「市場需求」。
今年筆者主打〈百變三明治〉DIY操作，此一課程設計在上一週期已跑過一輪，但這次在平面引導上做了大翻修，改為「三巧板」等積變換的極值探索。由於同一個課程，筆者得以多次在北、中兩地，依國中、國小（中、高年級）學生的不同層度引導，因此筆者有機會看到不同學生各式各樣的思考與回饋，以下即分享「三巧板」等積變換的操作設計與筆者教學相長之處。
【教學目的】1. 增進平面幾何多邊形的操作拼貼及變換思維。
2. 強化等面積變換下的幾何驗證。
【教學內容】1. 認識並製作「三巧板」。
2. 操作並拼貼三巧板等積變換下的多邊形。
3. 察覺並分析三巧板等積變換下周長的最大值與最小值。
【教學對象】國小中年級以上，分組上課，每組5至6人。
【教學時間】30分鐘。
【操作器材】每位學員一張正方形色紙、一把剪刀或美工刀。
【教學流程】
0. 課前準備：色紙、製作教學ppt.檔。
1. 製作三巧板：（流程如圖一）
a. 摺出正方形色紙的對角線，延對角線將正方形色紙剪成兩個等腰直角三角形。
b. 取一個等腰直角三角形，摺出對稱軸，再剪開得兩個更小的等腰直角三角形。
2. 三巧板的面積分析：
利用＋、－、×、÷與＝來表示三巧板零件之間的面積關係：（如圖二）
3. 三巧板的等積變換拼組：
利用三巧板依序拼組下列多邊形：（如圖三）
1. 正方形。 2. 矩形（長方形）。
3. 平行四邊形。 4. 等腰梯形。 5. 等腰直角三角形。 
說明：正方形只是剪紙程序的逆向還原，由於學生的圖像感都還很強，故無難度，至於矩形、平行四邊形與等腰梯形，其挑戰難度雖漸次提升，但學生只需稍加嘗試，也都迎刃而解，其目的在於讓學生適當紀錄拼貼的答案之後，能察覺並欣賞彼此間的變化差異，僅在於某個小零件的位置與方位的調整。較為有趣的是等腰直角三角形的拼組操作，本題若設計在正方形之後，學生多半都是順便拼組完成，但若設計在所有四邊形都拼好之後，卻會發現不少學生突然沒了方向感，需要好一段時間的摸索才又抓回圖感。
4. 三巧板等積變換下的周長大小：
引領學生認識所謂的「等積變換」之後，要小組在指定時間（約3min）內，想辦法確定何者的周長為最大？何者的周長為最小？
答案：周長最大的有平行四邊形、等腰梯形與等腰直角三角形；周長最小的是正方形。
說明：1. 此問題不限定方法，可以量量看、算算看或比比看。學生多半會從鉛筆盒中拿出短尺開始量測剛才剪拼好的「色紙拼圖」，但因時間有限，個人不易全數量測計算完畢，故會促使少數的小組分工合作。然而一旦分工下去，也就限定了組員的思考方法。雖然大家都是量量看，但方法卻不盡相同，有些學生只是不經思考地量測四個邊長，然後相加，有些學生會善用多邊形等邊的性質，來漸少工作量。特別的是，在眾多梯次的營對課程中，筆者曾遇到一組學生以精巧的方法執行量測動作：當大家都在辛苦地以短尺量測大張的色紙拼圖時，這組學生只需輕輕鬆鬆地量測講義上小小的拼圖紀錄。此外，本題周長最大的有3個圖形，但多數的小組還是習慣只回答一個標準答案。
備註：本題若純粹依賴測量的方法，客觀上即會發生每個人剪紙與測量誤差的技術問題，而真的只給出一個最大值。
2. 由於參加國中營隊的多半都是七年級升八年級的學生，此時學生尚未學習畢氏定理，故本題幾乎無人能算。但也發現一些高年級或國中學生，並不完全仰賴測量的結果來判定周長的大小。他們只是適當地區分三巧板的零件邊長，然後在講義的拼圖紀錄上，畫下不同線段等長的記號（如圖四），即可判斷平行四邊形、等腰梯形與等腰直角三角形的周長相等（都是4紅2綠），且其值大於長方形的周長（6紅），最後只需做必要的測量，即可判斷正方形的周長最小（4綠）。
3. 有了上述經驗之後，筆者在後續的營隊課程中，便在探索周長大小的問題之前，刻意引導判別三巧板零件的邊長關係（如圖五），讓學生認識綠色記號的線段即為原正方形色紙的邊長；紅色記號的線段即為原正方形色紙對角線長的一半。此時會有較多學生善用此一觀點精簡量測周長的工作，但也反而看到不少學生莫名且錯誤地將紅色記號的線段長記為1，綠色記號的線段長記為2。
4. 經過上述的修正教學之後，筆者曾嘗試在高年級的課程限定不能用尺量測，不少學生變得束手無策，最後只能投降猜猜看，但也有學生用圖四的方法紀錄之後，只需比比看2個綠色記號的線段與3個紅色記號的線段的大小，便可精準下結論。至於圖六逆向的「互補」手法，則是今年最讓筆者教學相長的數學思維。
5. 百變三明治DIY製作及其等積變換下的表面積大小：
繼三巧板的操作與探索之後，皆下來引領學生製作〈百變三明治〉DIY，及其等（體）積變換之下的表面積大小的探索活動。
【相關閱讀】遠哲科學教育基金會《發現月刊》魔數專欄
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